凸凹标度函数的广义 Orlicz 空间与 Wasserstein 距离

给定一个严格递增的连续函数 $\vartheta:\R_+\to\R_+$，基于代价泛函 $\int_{X\times X}\vartheta(d(x,y))\,d q(x,y)$，我们定义了某个度量空间 $(X,d)$ 上概率测度 $\mu,\nu$ 之间的 $L^\vartheta$-Wasserstein 距离 $W_\vartheta(\mu,\nu)$。假设函数 $\vartheta$ 可以表示为 $\vartheta=\phi\circ\psi$，即凸函数 $\phi$ 和凹函数 $\psi$ 的复合。除了凸函数和凹函数之外，这还包括所有 $\mathcal C^2$ 函数。对于此类函数 $\vartheta$，我们扩展了 Orlicz 空间的概念，定义了可测函数 $f: X\to\R$ 的度量空间 $L^\vartheta(X,m)$，使得例如 $$d_\vartheta(f,g)\le1\quad\Longleftrightarrow\quad \int_X\vartheta(|f(x)-g(x)|)\,d\mu(x)\le1.$$