关于圆盘微分同胚与嵌入空间的光滑化理论解环

著名的 Morlet-Burghelea-Lashof-Kirby-Siebenmann 光滑化理论定理指出，对于任意 $n\geq 1$，圆盘 $D^n$ 相对于边界的微分同胚群 $\mathrm{Diff}_\partial(D^n)$ 等价于 $\Omega^{n+1}\left(\mathrm{PL}_n/\mathrm{O}_n\right)$，且对于 $n\neq 4$，等价于 $\Omega^{n+1}\left(\mathrm{TOP}_n/\mathrm{O}_n\right)$。我们修正了光滑化理论结果，以证明该解环可推广到相对于边界的圆盘光滑嵌入空间的不同版本，即通常的嵌入、模浸入的嵌入以及标架嵌入。后一类空间解环为 $\mathrm{Emb}_\partial^{fr}(D^m,D^n)\simeq\Omega^{m+1}\left(\mathrm{O}_n\backslash\!\!\backslash\mathrm{PL}_n/\mathrm{PL}_{n,m}\right)\simeq \Omega^{m+1}\left(\mathrm{O}_n\backslash\!\!\backslash\mathrm{TOP}_n/\mathrm{TOP}_{n,m}\right)$，对于任意 $n\geq m\geq 1$（第二个等价要求 $n\neq 4$），其中在 $n-m=2$ 或 $(n,m)=(4,3)$ 的情况下，左侧应替换为 $\mathrm{PL}$-平凡纽结的路径连通分支的并（忽略标架）。此外，我们证明对于 $n\neq 4$，该解环与 Budney $E_{m+1}$-作用相容。我们利用此解环将 Hatcher $\mathrm{O}_{m+1}$-作用与 Budney $E_{m+1}$-作用结合为 $\mathrm{Emb}_\partial^{fr}(D^m,D^n)$ 上的一个标架小圆盘操作元 $E_{m+1}^{\mathrm{O}_{m+1}}$-作用。