关于时间依赖的Besov向量场及其流的正则性

我们证明了一大类Besov空间$\mathcal{B}^{n,\alpha,p}(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^d)$的ODE封闭性，其中$n \geq 1,~\alpha \in (0,1],~p \in [1,\infty]$。ODE封闭性意味着逐点时间依赖的$\mathcal{B}^{n,\alpha,p}$-向量场$u$具有唯一流$\Phi_u \in \operatorname{Id} + \mathcal{B}^{n,\alpha,p}(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^d)$。所考虑的向量场类包含Bochner可积向量场类$L^1(I, \mathcal{B}^{n,\alpha,p}(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^d))$作为特例。此外，对于$n \geq 2$和$\alpha < \beta$，我们证明了流映射$L^1(I,\mathcal{B}^{n,\beta,p}(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^d)) \rightarrow C(I,\mathcal{B}^{n,\alpha,p}(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^d)), ~ u \mapsto \Phi_u-\operatorname{Id}$的连续性。我们甚至对任意$\gamma < \beta - \alpha$得到$\gamma$-Hölder连续性。