与两相流相关的不连续常微分方程的适定性

我们考虑初值问题 $$\dot x (t) = v(t,x(t)) \;\mbox{ for } t\in (a,b), \;\; x(t_0)=x_0$$ 其确定了两相流的流线，即$v=v(t,x)$是如下类型的给定速度场 $$v(t,x)= \begin{cases} v^+(t,x) &\text{ if } x \in \Omega^+(t)\\ v^-(t,x) &\text{ if } x \in \Omega^-(t) \end{cases}$$ 其中$\Omega^\pm (t)$表示所考虑两相流体系统的体相。体相由移动且变形的界面$\Sigma (t)$分隔。由于我们允许具有相变的两相流，这些流线允许穿过或接触界面。在$\Sigma (t)$处施加一种与此类系统质量平衡密切相关的横截性条件，我们证明了在上述ODE绝对连续解的存在唯一性，其中单侧速度场$v^\pm:\overline{{\rm gr}(\Omega^\pm)}\to \mathbb{R}^n$在$(t,x)$上连续且在$x$上局部Lipschitz连续。注意，这是两相流存在定义良好的共动控制体的必要前提，而共动控制体是两相连续介质数学建模的基本概念。