Sobolev 向量场在满测度集上轨迹的非唯一性

在本文中，我们解决了 Alberti 提出的一个长期悬而未决的重要问题，该问题询问是否存在一个具有有界散度且属于某 $p \geq 1$ 的 $W^{1, p}$ 类的连续向量场，使得该向量场对应的常微分方程在一个具有正勒贝格测度的初始条件集上具有非唯一轨迹？这个问题属于著名的 DiPerna--Lions 理论关于 Sobolev 向量场 $W^{1, p}$ 的研究范畴。在这项工作中，我们设计了一个 $p < d$ 的 $W^{1, p}$ 类无散向量场，使得轨迹不唯一的初始条件集是一个满测度集。本文的构造非常明确；我们可以写出该向量场在任意时空点的表达式。此外，我们的向量场构造是新颖的。我们构建了一个向量场 $\boldsymbol{u}$ 和一个相应的流映射 $X^{\boldsymbol{u}}$，使得在有限时间 $T > 0$ 后，流映射将整个域 $\mathbb{T}^d$ 映射到一个康托集 $\mathcal{C}_\Phi$，即 $X^{\boldsymbol{u}}(T, \mathbb{T}^d) = \mathcal{C}_\Phi$，且该康托集的豪斯多夫维数严格小于 $d$。如此构造的流映射 $X^{\boldsymbol{u}}$ 不是一个正则拉格朗日流。满测度集上轨迹的非唯一性随后由 DiPerna--Lions 理论中正则拉格朗日流的存在性推导得出。