Euler方程的(随机)Lagrangian轨迹的非唯一性

我们关注与Euler或Navier-Stokes方程相关的(随机)Lagrangian轨迹。首先，在vanishing viscosity limit下，我们为在3D Euler方程中具有$C_{t,x}^{1/3-}$正则性并表现出动能耗散的弱解所驱动的传递方程建立尖锐的非唯一性结果。作为推论，结合叠加原理，这导致关联(确定性)Lagrangian轨迹的非唯一性。其次，在维数$d\geq2$中，对于任意$\frac{1}{p}+\frac{1}{r}>1$或$p\in(1,2),r=\infty$，我们构造Euler或Navier-Stokes方程的解，满足空间$L_t^rL^p\cap L_t^1W^{1,1}$，表明关联的(随机)Lagrangian轨迹不唯一。我们的结果在2D中是尖锐的：(1)在随机情况下，对于任意向量场$v\in C_tL^p$且$p>2$，关联的随机Lagrangian轨迹唯一(见\cite{KR05})；(2)在确定性情况下，LPS条件保证对于任意弱解$v\in C_tL^p$且$p>2$的Navier-Stokes方程，关联的(确定性)Lagrangian轨迹唯一。我们的结果在维数$d\geq2$中也是尖锐的：对于任意无散度向量场$v\in L_t^1W^{1,s}$且$s>d$，关联的(确定性)Lagrangian轨迹唯一(见\cite{CC21})。