三维 Navier-Stokes 方程 Leray 解的随机拉格朗日路径

本文中我们证明了三维 Navier-Stokes 方程 Leray 解存在随机拉格朗日粒子轨迹。更确切地说，对 3D-NSE 的任意 Leray 解 u 以及每个 (s,x)∈R₊×R³，我们证明了如下 SDE 弱解的存在性：当 p,q∈[1,2) 且 3/p+2/q>4 时，其密度 ρ_{s,x}(t,y) 属于 H^{1,p}_q，$$\mathrm{d} X_{s,t}={\mathbf u} (s,X_{s,t})\mathrm{d} t+\sqrt{2\nu}\mathrm{d} W_t,\ \ X_{s,s}=x,\ \ t\geq s,$$ 其中 W 为三维标准布朗运动，ν>0 为黏性常数。此外，我们还证明了对于 Lebesgue 几乎处处的 (s,x)，与上述 mollifying 速度场 u_n 相关联的上述 SDE 的解 X^n_{s,·}(x) 弱收敛于 X_{s,·}(x)，从而 X 在几乎必然意义下为马尔可夫过程。