环面上常微分方程流在单点条件与扰动结果下的渐近性：应用

本文研究自治向量值常微分方程 $X'(t, x) = b(X(t, x))$（$t \in \mathbb{R}$）的解流 $X$ 在环面 $Y_d := \mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$ 上的长时间渐近 $X(t, x)/t$，其中 $X(0, x)=x$ 为环面上一点。我们假定向量场 $b$ 可写为乘积 $\rho\Phi$，其中 $\rho : Y_d \rightarrow [0, \infty)$ 为非负正则函数，$\Phi : Y_d \rightarrow \mathbb{R}^d$ 为非零正则向量场。本文中，单点条件指由流 $X$ 的不变概率测度对 $b$ 的平均值构成的旋转集 $C_b$ 为单点集 $\{\zeta\}$，或等价地，对任意 $x \in Y_d$ 有 $\lim_{t\rightarrow\infty} X(t, x)/t = \zeta$。结合被视为散度-旋度引理的 Liouville 定理，这首先使我们获得当 $b$ 为电流场时流的渐近。进而，我们证明一一般扰动结果：假设 $\rho$ 为 $Y_d$ 上正序列 $(\rho_n)_{n\in\mathbb{N}}$ 的一致极限，且对任意 $n\in\mathbb{N}$ 满足 $\rho \le \rho_n$ 以及 $C_{\rho_n\Phi}$ 为单点集 $\{\zeta_n\}$。结果表明极限集 $C_b$ 或保持为单点集，或扩张为 $\mathbb{R}^d$ 中的闭线段 $[0, \lim_n \zeta_n]$。我们给出该扰动结果的若干推论，涉及或不涉及经典遍历条件，取决于 $\rho$ 某些调和平均的正性。这些结果由不同例子阐明，显示扰动结果限于 $\rho$ 的标量扰动，并凸显旋转集 $C_b$ 满足的二择一性。最后，我们证明单点条件使我们能在任意维对由振荡速度 $b(x/\epsilon)$ 引出的线性输运方程在超越流 $X$ 所满足的任何遍历条件下实现齐次化。