常微分方程流精细渐近展开

在本文中，我们研究非线性常微分方程解X(t, x)的渐近展开：X(t, x) = b(X(t, x))，X(0, x) = x ∈ R^d，其中b是R^d上正则的Z^d周期向量场。更确切地说，我们给出关于b的各种条件以获得X的“精细”渐近展开，形式为：|X(t, x) − x − tζ(x)| ≤ M < ∞，该式对t ≥ 0与x ∈ R^d（或至少在R^d的某个子集上）一致成立，其中ζ(x)（x ∈ R^d）是由流X诱导的旋转向量。一方面，我们给出向量场b上充要条件，使得展开X(t, x) − x − tζ(x)可写为Φ(X(t, x)) − Φ(x)，当向量值函数Φ有界时立即得到所需展开。作为回报，我们借助Y^d上合适的微分同胚与向量值函数Φ导出了b的一个可接受类。另一方面，假设二维Kolmogorov定理及高维中的某些推广成立，我们依据流X旋转向量的可通约性建立不同情形，判定X的精细估计展开是否成立。结果表明，对于任意与非零光滑向量场b相关联且在R^2中诱导唯一不可通约旋转向量ξ的二维流X，X的精细渐近展开在R^2中成立当且仅当ξ_1/ξ_2为丢番图数。该结果在常微分方程流设定中似乎是新的。可通约旋转向量ζ(x)的情形以类似方式考察。最后，若干例子与反例阐明了论文的不同结果，包括在某些方向上破坏渐近展开的零向量场b的情形。