具有 $BV$ 向量场的常规拉格朗日流的定量估计

本文致力于研究与非光滑向量场相关的流。我们证明了与向量场 $\mathbf{B}=(\mathbf{B}^1,...,\mathbf{B}^d)\in L^1(\mathbb{R}_+;L^1(\mathbb{R}^d)+L^\infty(\mathbb{R}^d))$ 相关的常规拉格朗日流的适定性，其中 $\mathbf{B}$ 满足 $\mathbf{B}^i=\sum_{j=1}^{m}\mathbf{K}_j^i*b_j,$ $b_j\in L^1(\mathbb{R}_+,BV(\mathbb{R}^d))$ 且 $\operatorname{div}(\mathbf{B})\in L^1(\mathbb{R}_+;L^\infty(\mathbb{R}^d))$（$d,m\geq 2$），这里 $(\mathbf{K}_j^i)_{i,j}$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中的奇异核。此外，我们还证明了存在自治向量场 $\mathbf{B}\in L^1(\mathbb{R}^2)+L^\infty(\mathbb{R}^2)$ 与奇异核 $(\mathbf{K}_j^i)_{i,j}$、$\mathbb{R}^2$ 中的奇异 Radon 测度 $\mu_{ijk}$，对某个 $m\geq 2$ 以及 $k,i=1,2$ 在分布意义下满足 $\partial_{x_k} \mathbf{B}^i=\sum_{j=1}^{m}\mathbf{K}_j^i\star\mu_{ijk}$，使得与该向量场 $\mathbf{B}$ 相关的常规拉格朗日流不唯一。