关于 $\mathbb H^n$ 与 $\mathbb S^n_+$ 中测地球内自由边界极小子流形
摘要
我们考虑双曲空间 与上半圆球面 中测地球内的自由边界极小子流形。近来，Lima 与 Menezes 发现了 中测地球内自由边界极小曲面与定义在一带边紧曲面上黎曼度量集合上某泛函的极大度量之间的联系。该联系类似于欧氏球中自由边界极小子流形与“第 个归一化 Steklov 特征值”泛函的临界度量（由 Faser 与 Schoen 引入）之间的联系。我们在带边紧曲面的黎曼度量集合上定义两个自然泛函，其中之一为 Lima 与 Menezes 所引入泛函的高阶推广。我们证明这些泛函的临界度量分别由 与 中测地球内的自由边界极小浸入所诱导的度量给出，并证明了其逆陈述。此外，我们讨论了 或 中测地球内自由边界极小子流形的（Morse）指标。我们证明 中测地球内临界球面 Catenoid 的指标为 4，而 中测地球内临界球面 Catenoid 的指标至少为 4。我们证明 或 中测地球内测地 -球在测地 -球中的指标为 。为证明这些结论，我们类似于欧氏空间单位球中自由边界极小子流形情形引入了谱指标的概念。
引用
@article{arxiv.2311.02409,
title = {On free boundary minimal submanifolds in geodesic balls in $\mathbb H^n$ and $\mathbb S^n_+$},
author = {Vladimir Medvedev},
journal= {arXiv preprint arXiv:2311.02409},
year = {2025}
}
备注
35 pages; important changes: the index of the geodesic $k$-ball in the $n$-ball is $n-k$; the index of the critical spherical catenoid in a ball in the hyperbolic space is at least 4; the space of admissible metrics for $\Theta_{r,k}$ are metrics with the first Dirichlet eigenvalue grater than 2