尖锐的特征值界与球中的极小曲面

我们证明了在带边界的曲面上存在最大化$\sigma_1 L$的度量并确立了其正则性，其中$\sigma_1$是第一个非零 Steklov 特征值，$L$是边界长度。我们表明，此类度量产生为单位球$B^n$（对于某个$n$）中自由边界极小曲面上的诱导度量。在圆环情形下，我们证明该问题的唯一解是临界悬链面 (critical catenoid) 上的诱导度量，它是$B^3$中唯一的自由边界旋转曲面。我们还表明，Möbius 带上的唯一解是通过在$B^4$中作为自由边界曲面的显式$S^1$不变嵌入实现的，即临界 Möbius 带。对于具有任意多个边界分量的定向亏格 0 曲面，我们证明了最大值的存在性，它们由$B^3$中的极小嵌入给出。我们刻画了当边界分量数量趋于无穷大时的极限，从而给出了渐近尖锐上界$4\pi$。我们还证明了关于$\sigma_1$基于拓扑的重数界，并给出了球中自由边界曲面面积泛函的 Morse 指数的下界。