关于高维自由边界极小悬链面的 Morse 指数

对于所有 $n$，我们将 $n$ 维临界悬链面 $M_n$ 定义为嵌入在 $\Bbb{R}^{n+1}$ 闭单位球中的唯一旋转对称、具有非平凡拓扑的自由边界极小超曲面。我们证明了 $M_n$ 的 Morse 指数 $\text{MI}(n)$ 满足以下当 $n$ 趋于无穷大时的渐近估计：$$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\text{Log}(\text{MI}(n))}{\sqrt{n}\text{Log}(\sqrt{n})} = 1.$$ 我们还研究了数值问题，提供了 $n=2,\cdots,100$ 时 Morse 指数的精确值，并对大 $n$ 值下的 $\text{MI}(n)$ 及相关几何量进行了定性研究。