Robin 零点与临界双曲抛物面的渐近几何

对于每个参数 $a>1$，临界双曲抛物面 $\Sigma_a$ 是在测地球 $B^3(r(a))\subset\mathbb{H}^3$ 中的一个旋转对称的、带边界的最小环面。通过 Medvedev [7]，$\Sigma_a$ 的 Morse 指数至少为 $4$，他 conjectures 相等。在本文中，我们识别了 $\{\Sigma_a\}_{a>1}$ 家族的一个新的几何与谱现象，称为“参数临界性”，并研究其对 Robin 谱的影响。具体而言，我们证明了两个主要结果：(I) 参数临界性（定理 1.5）。边界半径 $r(a)$ 在 $(1,\infty)$ 上非单调：它满足 $r'(1^+)<0$，且当 $a\to\infty$ 时有 $r(a)=\frac{3}{2}\log a+d_\infty+o(1)$，其中 $d_\infty=\log[\Gamma(1/4)/\Gamma(3/4)]-\frac{1}{2}\log(2\pi)$（定理 1.4）。因此存在一个参数临界值 $a^\sharp\in(1,\infty)$，使得 $r'(a^\sharp)=0$。(II) Robin 零点跃移（定理 1.6）。在每一个此类 $a^\sharp$ 处，$\Sigma_{a^\sharp}$ 的 Robin 零度满足 $\text{nul}(L_{\Sigma_{a^\sharp}})\geq 3$，额外的核元素来自于参数变分场 $j_a=\langle\partial_a\Phi_a,\nu\rangle_L|_{a=a^\sharp}$ 产生的模式 $k=0$，我们通过闭式 $j_a(0)=1/(2\sqrt{a^2-1})$ 证明其在抛物面颈部非消失。该论证需要 characterize 为唯一正解的极限 $r_0:=\lim_{a\to 1^+}r(a)$，满足 $\tanh(r_0)\,\tanh(2r_0/\sqrt{3})=\sqrt{3}/2$（定理 1.3），给出 $\Sigma_a\to\Sigma_1$ 的整洁参数化。我们证明 $\Sigma_a$ 在模式 $|k|=1$ 处的 Robin 零度等于 $2$（命题 1.1）；这推广了 Devyver [2] 针对欧几里得临界抛物面的按模式分解的傅里叶技术，用于证明 (II) 中识别额外核元素作为模式-$k=0$ 现象。