Mori家族中临界双曲线圆柱的Morse指数的解析局部解析

设$\Sigma_a\subset B^3(r(a))\subset\mathbb{H}^3$（$a>1/2$）为Mori家族的临界双曲线圆柱，是一个在测地球中的自由边界最小曲面。Medvedev猜想[9]指出ind($\Sigma_a$)=4对所有$a>1/2$成立。我们研究其强形式：ind($\Sigma_a$)=4且nul($\Sigma_a$)=2。空置条件nul($\Sigma_a$)=2结合了[11, Cor. 4.4]中模式-$|k|=1$结果$\text{nul}_R(\Sigma_a)|_{|k|=1}=2$，并与模式$|k|=0,|k|\ge2$中的零核结果相结合；后者不在[11]中，本文在$a\in(1/2,1/2+\delta_0)$处建立。主要结果是临界Morse猜想的解析局部解决：$\exists\delta_0>0$使得ind($\Sigma_a$)=4，nul($\Sigma_a$)=2对所有$a\in(1/2,1/2+\delta_0)$成立。这源于展开$H(a):=\sinh r(a)/K(a)=\sigma_*\cosh\sigma_*+C_0(a-\frac12)+O((a-\frac12)^2)$作为$a\to(1/2)^+$，其中$C_0=\frac{\sigma_*\cosh\sigma_*(\sinh^2\sigma_*-1)(3\sinh^2\sigma_*-2)}{12\sinh^2\sigma_*}$，其中$\sigma_*>0$是方程$\sigma=\coth\sigma$的唯一正根，且$C_0>0$因为$\sigma_*>\log(1+\sqrt2)$。证明通过三个简化得出：$(i)$ Medvedev猜想等价于$\mu_0^{\mathrm{even}}(2)>0$（E）和$\mu_2(0)>0$且在模式$0$中非退化；$(ii)$$\mu_2(0)>0$通过Sturm射击计数论归约为$\phi_a>0$，即主分支上的参数Jacobi场；$(iii)$在$\sinh r(a)>2K(a)$（G）下，$\phi_a>0$通过常数Wronskian和Sturm分离归约为$H'(a)>0$。辅助结果包括：一个Picone恒等式（基为$f_*$）无条件闭合奇径向区$|k|\ge2$；第二个Picone恒等式（基为$B$）无条件证明（E）在$(1/2,1]$上成立，并且通过Hardy估计在$(1/2,A_*]$（$A_*>1$）上成立；通过严格凹性闭合（G）在$(1/2,1]$；以及通过Lorentz坐标给出ind($\Sigma_a$)\ge4的另一种证明。