半黎曼闭测地线的不稳定性

Poincaré 的一个著名结果断言，定向黎曼曲面上非退化极小闭测地线 $\gamma$ 是双曲的。从这一经典定理出发，我们的第一个主要结果是关于（非）定向流形上类时和类空闭半黎曼测地线的一个一般不稳定性判据。其中，谱指标起到了关键作用，这是一个我们通过自伴 Fredholm 算子族的谱流（因为 Morse 指标实为无穷）定义的新的拓扑不变量。证明该结果的一个主要步骤是一个新的谱流公式。Bott 迭代公式由作者于 1956 年引入，它以清晰的方式将迭代闭黎曼测地线的 Morse 指标与所谓的 $\omega$-Morse 指标联系起来。我们的第二个结果是在闭（对应地，类时闭）黎曼（对应地，洛伦兹）测地线情形下，著名 Bott 型迭代公式的半黎曼推广。我们的最后一个结果是通过控制测地线及其所有迭代的 Morse 指标而获得的一个强不稳定性结果。