模态 |k|=1 中的 Robin 零维数与临界双曲螺旋面的渐近半径

对于每个参数 $a>1/2$, 临界双曲螺旋面 $\Sigma_a$ 是在测地球 $B^3(r(a))\subset\mathbb{H}^3$ 中具有旋转对称性、自由边界的环形最小曲面,属于 Mori、do Carmo--Dajczer、Medvedev 系列中的一个成员。我们关于 $\Sigma_a$ 建立了三个分析结果。(I) 模态 |k|=1 中的 Robin 零维数与指数。Jacobi 算子 $L_{\Sigma_a}=\Delta_g+(|II|^2-2)$ 在角向傅里叶模态 |k|=1 中的 Robin 零维数为 2,其核由固定 $\Sigma_a$ 测轴的旋转 $L_{12},L_{13}\in\mathfrak{so}(3,1)$ 对应的 Killing--Jacobi 场张成,这些旋转将 $\partial B^3(r(a))$ 映到自身。径向轮廓采用闭式形式 $f_*(s)=\partial_s\Phi_a^0(s,0)=\frac{d}{ds}[A(s)\cosh\varphi(s)]=\sinh r(s)\cdot r'(s)$ 表示,其中 $r(s)$ 为从 $p_0=(1,0,0,0)$ 的测地距离。依据 Sturm--Liouville 理论,$\Sigma_a$ 在模态 |k|=1 中的 Robin Morse 指数也为 2,这进一步细化了 Medvedev 的下界 $\mathrm{ind}(\Sigma_a)\geq 4$。(II) 渐近半径。边界半径满足 $r(a)=\tfrac{3}{2}\log a+d_\infty+o(1)$ 当 $a\to\infty$ 时,其中 $d_\infty=\log[\sqrt{2}\,\Gamma(1/4)^2/\pi^{3/2}]=\log[2\sqrt{2\pi}/\Gamma(3/4)^2]$。$d_\infty$ 的闭式由对 $I_\infty=\int_0^{\infty}\cosh(2t)^{-3/2}\,dt$ 的 Beta 函数求值得到。(III) 退化极限。当 $a\to(1/2)^+$ 时,$r(a)=c_*\sqrt{a-1/2}\,(1+o(1))$,其中 $c_*=\sigma_*\cosh\sigma_*$,$\sigma_*$ 为唯一的正定点,满足 $\sigma=\coth\sigma$。(I) 的证明遵循 Devyver 对欧几里得临界螺旋面采用的按模态策略,以 $\mathfrak{so}(3,1)$ 替代 $\mathfrak{so}(3)$,并补充特定于双曲背景的闭式识别 $f_*=\partial_s\Phi^0$。(II) 的证明采用对隐式自由边界条件的拉普拉斯型渐近分析。