立方和问题与比值猜想

Hooley 与 Heath-Brown 的著作在自同构性及某些 Hasse--Weil $L$-函数的 GRH 条件下，隐含了关于扩张区域中方程 $x_1^3+\dots+x_6^3 = 0$ 整解个数 $N$ 的近最优界；对于直径 $X\ge 1$ 的区域，该界形如 $N\le C(\varepsilon) X^{3+\varepsilon}$（$\varepsilon>0$）。我们将该 $\varepsilon$ 归因于若干微妙相互作用的证明因子；随后在若干标准数论假设下（主要包含比值猜想与无平方因子筛法猜想）去除了 $\varepsilon$。事实上，我们最弱的假设即隐含了 Hooley 与 Manin 关于 $N$ 的猜想，并表明几乎所有满足 $a\not\equiv \pm 4 \bmod{9}$ 的整数均为三个立方数之和。我们最充分的假设能够证出 $N$ 的省幂渐近式，并生成几乎所有满足 $p\not\equiv \pm 4 \bmod{9}$ 的素数。