椭圆的 Robin 谱刚性

在本文中,我们研究了具有 Robin 边界条件的椭圆的 $C^1$ 等谱形变,允许 Robin 函数与区域同时形变。我们证明,如果形变保持椭圆的反射对称性,则区域与 Robin 函数的一阶变分必须为零。通过重新参数化,我们可以证明此类光滑形变在 $\epsilon = 0$ 处必须是平坦的。特别地,不存在此类解析等谱形变。关键要素包括用于变 Robin 边界条件的 Hadamard 变分公式的一个版本,以及利用台球映射作用角坐标的波迹变分的振荡积分表示。对于后者,我们实际上在内部构造了波传播子的一个显式拟解,在旋转数 $1/j$ 的轨道附近的微局部范围内。