有限同调维数复形的数值性质

设 $(R,\fm)$ 为局部环，$C$ 为半对偶复形。对于具有有限 $\GC$-维数 $g$ 的同调有限且有界复形 $Z$，我们建立了等式 $r_R(Z) = \nu(\Ext^{g-\inf C}_R(Z,C))\mu^{\depth C}_R(\mathfrak{m}, C)$。此外，我们证明：若对充分大的 $i$ 有 $\Ext^i(M,N)=0$，而对所有 $i$ 均有 $\id_R\Ext^i(M,N)$ 保持有限，则当 $M$ 与 $N$ 为有限生成 $R$-模时，$\pd_R M$ 与 $\id_R N$ 均有限。这些发现推广了 Ghosh 与 Puthenpurakal \cite{Ghosh} 的近期结果，并回答了其在 \cite[Question 3.9]{Ghosh} 与 \cite[Question 4.2]{Ghosh} 中提出的问题。