关于 $\operatorname{Ext}$-有限模、拟内射维数与模的宽度

设 $(R,\mathfrak{m},k)$ 为一个交换 Noether 局部环。众所周知，如果 $M$ 是一个具有有限拟内射维数的有限生成 $R$-模，则 $\operatorname{qid}_RM = \operatorname{depth} R$。在本文中，我们证明了在 $M$ 是 $\operatorname{Ext}$-有限且具有有限拟内射维数这一较弱条件下，等式 $\operatorname{qid}_R M =0$ 成立当且仅当 $\operatorname{Ext}_R^{i>0}(R/(\boldsymbol{x}),M)=0$，其中 $\boldsymbol{x} \in \mathfrak{m}$ 是一个极大 $R$-序列；并且如果 $\operatorname{qid}_R M \neq 0$，我们证明了此时 $\operatorname{qid}_R M = \sup \lbrace i : \operatorname{Ext}_R^i(R/(\boldsymbol{x}),M) \neq 0 \rbrace$。此外，我们还证明了如果 $R$ 是一个 Cohen-Macaulay 局部环且 $M$ 是一个具有有限拟内射维数的 $\operatorname{Ext}$-有限 $R$-模，则在 $\inf \lbrace i : \operatorname{Tor}_i^R(k,M) \neq 0 \rbrace< \infty$ 的条件下，有 $\operatorname{depth} R = \operatorname{qid}_R M + \inf \lbrace i : \operatorname{Tor}_i^R(k,M) \neq 0 \rbrace$。