基于 $G_{C}$-维数的对偶复形的若干刻画

设 $(R,\fm)$ 为局部环，$C$ 为同调有界且有限生成的 $R$-复形。则我们证明 $C$ 是 $R$ 的对偶复形当且仅当 $C$ 是类型为一的 Cohen-Macaulay 半对偶化复形，或 $\mu_R^{\inf C+\dim_R(C) }(\fm,R)=\beta_{\inf C}^R(C)$。此外，我们证明半对偶化复形 $C$ 是对偶的当且仅当存在一个具有有限 $G_{C}$-维数的类型为一的 Cohen-Macaulay $R$-模，或存在一个具有有限 $G_{C}$-维数且 $\dim_R(X)=\dim_R(C)-\gr_C(X)$ 的类型为一的 Cohen-Macaulay $R$-复形。进一步地，对于半对偶化 $R$-复形 $C$，我们证明 $C\sim R$ 当且仅当存在一个属于 Auslander 类 $\mathcal{A}_C(R)$ 的类型为一的 Cohen-Macaulay $R$-模 $M$。