关于 k-环图的 VDB 拓扑指标的注记

设 $G$ 为具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的连通图。基于顶点度数的拓扑指标(VDB)(或图形函数指标) $TI(G)$ 的带边权函数 $I(x,y)$ 定义为 $$TI(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)}I(d_{u},d_{v}),$$ 其中 $I(x,y)>0$ 为对称实函数且 $x\geq 1$、$y\geq 1$，$d_{u}$ 为顶点 $u$ 在 $G$ 中的度数。在本注记中，我们推导了一些先前已确立的结果，并陈述了若干新结果。对于具有性质 $P^{*}$ 的 VDB 拓扑指标 $TI$，我们可以得到 $k\geq3$、$n\geq 5(k-1)$ 时的最小 $k$-环(化学)图。这些 VDB 拓扑指标包括 Sombor 指标、广义 Sombor 指标、$p$-Sombor 指标、广义和连通度指标等。因此本注记推广了 Liu 等人 [H. Liu, L. You, Y. Huang, Sombor index of c-cyclic chemical graphs, MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 90 (2023) 495-504] 与 Ali 等人 [A. Ali, D. Dimitrov, Z. Du, F. Ishfaq, On the extremal graphs for general sum-connectivity index $(\chi_{\alpha})$ with given cyclomatic number when $\alpha>1$, Discrete Appl. Math. 257 (2019) 19-30] 的结果。