随机图上拓扑与谱指标的分布

我们对随机图 $G=(V,E)$ 在广泛的连通性范围内拓扑与谱指标的分布进行了详细的统计研究。首先，我们考虑基于度的拓扑指标 (TI)，并关注其中的两类：$X_\Sigma(G) = \sum_{uv \in E} f(d_u,d_v)$ 和 $X_\Pi(G) = \prod_{uv \in E} g(d_u,d_v)$，其中 $uv$ 表示连接顶点 $u$ 和 $v$ 的图 $G$ 的边，$d_u$ 是顶点 $u$ 的度，而 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 是顶点度的函数。具体来说，我们将 $X_\Sigma(G)$ 和 $X_\Pi(G)$ 应用于 Erdős-Rényi 图和随机几何图，覆盖从几乎孤立顶点到大部分连通图的完整转变过程。我们验证了 $P(X_\Sigma(G))$ 收敛于标准正态分布，同时证明了 $P( X_\Pi(G))$ 收敛于对数正态分布。此外，我们还分析了基于 Revan 度的指标和谱指标（由图的邻接矩阵的特征值和特征向量定义的指标）。实际上，对于 Revan 度指标，我们得到了与标准基于度的拓扑指标等价的结果。而对于谱指标，我们报告了两种不同的模式：仅由特征值定义的指标的分布趋近于正态分布，而同时涉及特征值和特征向量的指标的分布趋近于对数正态分布。