基于度的拓扑指标的渐近分布

拓扑指标在数学化学中扮演着重要角色。给定图 $\mathcal{G}$，其顶点集为 $\mathcal{V}=\{1,2,\dots,n\}$、边集为 $\mathcal{E}$，令 $d_i$ 为节点 $i$ 的度。基于度的拓扑指标定义为 $\mathcal{I}_n=$ $\sum_{\{i,j\}\in \mathcal{E}}f(d_i,d_j)$，其中 $f(x,y)$ 为对称函数。本文研究了异质 Erd\H{o}s-R\'{e}nyi 随机图的基于度的拓扑指标的渐近分布。我们证明在适当中心化和缩放后，该拓扑指标依分布收敛于标准正态分布。有趣的是，我们发现带有 $f(x,y)=(xy)^{\tau}$（$\tau$ 为常数）的广义 Randi\'{c} 指标在 $\tau=-\frac{1}{2}$ 处表现出相变。