$\mathbb R^n$ 上算子代数的非交换留数、等变迹与迹展开

我们考虑 $\mathbb R^n$ 上的一类傅里叶积分算子代数 $\mathscr A$。它由 Schwartz 空间 $\mathscr S(\mathbb R^n)$ 上所有可写为有限和 $$D= \sum R_gT_w A$$ 的算子 $D: \mathscr S(\mathbb R^n)\to \mathscr S(\mathbb R^n)$ 组成，其中 $A$ 为 Shubin 型伪微分算子，$T_w$ 为 Heisenberg-Weyl 算子（$w\in \mathbb C^n$），$R_g$ 为 $\mathbb C^n$ 上酉矩阵 $g\in \mathrm U(n)$ 到复 metaplectic 群中算子 $R_g$ 的提升。对 $D \in \mathscr A$ 及合适的辅助 Shubin 伪微分算子 $H$，我们在 $\mathbb C$ 中某扇形内当 $|\lambda| \to \infty$ 且 $K$ 足够大时建立了 $\mathop{\mathrm {Tr}}(D(H-\lambda)^{-K})$ 的展开式，并在 $t\to 0^+$ 时建立了 $\mathop{\mathrm{Tr}}(De^{-tH})$ 的展开式。我们还得到了 $z\mapsto \mathop{\mathrm{Tr}}(DH^{-z})$ 到 $\mathbb C$ 的亚纯延拓的奇点结构。此外，我们在这些展开式中以适当系数找到了一个非交换留数，并由此构造了该代数上一族局部化等变迹。