非交换纽结理论
几何拓扑
2014-10-01 v2 群论
摘要
纽结的经典阿贝尔不变量是亚历山大模（即 S^3-K 的唯一无限循环覆盖空间的第一同调群，视作（交换）洛朗多项式环上的模）以及定义在该模上的布兰菲尔德配对。从纽结群 G 的角度看，这些不变量反映了 G^(1)/G^(2) 作为 G/G^(1) 上模的结构（此处 G^(n) 为 G 的导出列的某项）。因此，任何与 G^(2) 相关的现象对阿贝尔不变量都是不可见的。本文系统研究纽结外空间的能解覆盖空间相关的不变量，特别地研究我们所称的第 n 阶高阶亚历山大模 G^(n+1)/G^(n+2)，视作 Z[G/G^(n+1)]-模。我们证明这些模几乎具有经典亚历山大模的所有性质：它们是挠模，带有高阶亚历山大多项式，其次数给出纽结亏格的下界；这些模有源于群表示或塞弗特曲面的表示矩阵；它们容许展现自对偶性的高阶配对形式。在估计纽结亏格以及检测纤维、素与交错纽结方面有应用，也有令人惊讶的用于检测 4-流形上辛结构的应用。这些模类似于但不同于作者、Kent Orr 与 Peter Teichner 所考虑的模，并且是 Shelly Harvey 随后针对任意 3-流形所考虑模的特例。
引用
@article{arxiv.math/0206258,
title = {Noncommutative knot theory},
author = {Tim D. Cochran},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0206258},
year = {2014}
}
备注
Published by Algebraic and Geometric Topology at http://www.maths.warwick.ac.uk/agt/AGTVol4/agt-4-19.abs.html