纽结理论与簇代数 II：纽结簇
组合数学
2024-05-28 v1 一般拓扑
表示论
摘要
对于每一个纽结（或链环）图K，我们关联一个簇代数A，它包含一个簇x，其性质是x中的每个簇变量都特化为K的亚历山大多项式。我们称x为A的纽结簇。此外，存在一个A的二阶簇自同构，将初始簇映射到簇x。我们通过两种方式实现纽结理论与簇代数之间的这种联系。在我们先前的工作中，我们构造了簇代数A的初始箭图Q的不可分解表示T(i)。在移除2-环之后，箭图Q是K中弧段的关联箭图，而Q的表示T(i)是通过依次取K在第i个弧段处切开后的边界构建的。与亚历山大多项式的联系源于T(i)的子模格与K相对于弧段i的考夫曼状态格之间的同构。在本文中，我们通过一系列突变来识别A中的纽结簇x，这些突变是从图K上的一系列双角约化和广义Reidemeister III移动构造的。在图解层面，该序列首先将K约化为Hopf链环，然后将Hopf链环反射为其镜像，最后通过逆转约化过程重建K（的镜像）。我们证明了每个素链环的图解都存在这样的序列。我们进一步证明了x中的簇变量与表示T(i)具有相同的F-多项式。这确立了一个重要事实：我们的表示T(i)确实对应于A中的簇变量。但它甚至确立了一个更强有力的结果：这些簇变量都是兼容的，即它们构成一个簇。我们还证明了表示T(i)具有以下对称性质：对于Q的所有顶点i, j，T(i)在j处的维数等于T(j)在i处的维数。
引用
@article{arxiv.2405.16592,
title = {Knot theory and cluster algebras II: The knot cluster},
author = {Véronique Bazier-Matte and Ralf Schiffler},
journal= {arXiv preprint arXiv:2405.16592},
year = {2024}
}
备注
49 pages, 24 figures