栈与上同调 Hall 代数的非阿贝尔 Hodge 同构

本文中，我们补全了栈的 Dolbeault、Betti 与 de Rham 模栈的 Borel-Moore 同调之间的非阿贝尔 Hodge 理论 (NAHT) 同构三角。我们首先解释如何将光滑射影曲线上的联络范畴实现为满足某些适当几何条件的 $2$-Calabi-Yau dg-范畴的子范畴。接着，我们在光滑射影曲线上联络栈的 Borel-Moore 同调上定义上同调 Hall 代数 (CoHA) 乘积。这使我们不仅能比较 NAHT 三侧在相对与绝对层面的栈的 Borel-Moore 同调，也能比较其 CoHA 结构：它们均一致。为比较 Dolbeault 与 de Rham 两侧，我们为参数化 $\lambda$-联络的 Hodge-Deligne 模空间定义了相对 CoHA。Betti 与 de Rham 两侧则利用（导出的）Riemann-Hilbert 对应进行比较。Dolbeault 与 Betti 模栈的 Borel-Moore 同调之比较此前已由作者与 Davison 及 Schlegel Mejia 考虑过（未考虑上同调 Hall 代数结构）。本文完成了此项研究，并给出了曲线经典 NAHT 的 CoHA 提升。