BPS 李代数与预投射 CoHA 上较少反常的 filtration

预投射代数 $\Pi_Q$ 的表示栈 $\mathfrak{M}(\Pi_Q)$ 的仿射化态射，是从一般 2-Calabi-Yau 范畴中对象栈到良好模空间的态射的局部模型。我们证明沿此态射的对偶复形的导出直接像是纯的，并且依 Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber 分解定理的意义承认分解。利用该分解，我们在 $\mathfrak{M}(\Pi_Q)$ 的 Borel-Moore 同调上引入一个新的反常 filtration。我们证明由 $\mathfrak{M}(\Pi_Q)$ 的 Borel-Moore 同调构造的上同调 Hall 代数上所得 filtration 的第零片，同构于相伴 BPS 李代数 $\mathfrak{g}_{\Pi_Q}$ 的泛包络代数。该李代数通过 Kontsevich-Soibelman 关于 3-Calabi-Yau 范畴临界上同调 Hall 代数的理论定义。随后我们将此李代数提升为 $\Pi_Q$-模粗模空间上反常层范畴中的李代数对象，并利用该代数结构证明上述分解定理中出现的直和项的结论。特别地，我们证明半稳定 $\Pi_Q$-模奇异空间的交上同调给出“尖上同调”——$\mathfrak{g}_{\Pi_Q}$ 的一组猜想上完整的典范生成子空间。