Eilenberg-Moore 谱序列与分类栈的 Hodge 上同调

设 $G$ 为域 $k$ 上的光滑连通约化群，$\Gamma$ 为 $G$ 的中心子群。我们构造收敛到 $B(G/\Gamma)$ 的 Hodge 与 de Rham 上同调的 Eilenberg-Moore 型谱序列。作为一个应用，基于 Toda 的工作并利用 Totaro 不等式，我们证明对所有 $m\geq 0$，$B\mathrm{PGL}_{4m+2}$ 与 $B\mathrm{PSO}_{4m+2}$ 在 $\mathbb{F}_2$ 上的分类栈的 Hodge 与 de Rham 上同调代数同构于相应李群的分类空间的奇异 $\mathbb{F}_2$-上同调。由此我们得到了 $\mathrm{GL}_{4m+2}$ 与 $\mathrm{SO}_{4m+2}$ 在 $\mathbb{F}_2$ 上的 $H^{>0}(\mathrm{GL}_{4m+2}, \operatorname{Sym}^j(\mathfrak{pgl}_{4m+2}^\vee))$ 与 $H^{>0}(\mathrm{SO}_{4m+2}, \operatorname{Sym}^j(\mathfrak{pso}_{4m+2}^\vee))$ 的完整描述。