等谱交换簇、Harish-Chandra D-模与主幂零对

设 $\mathfrak{g}$ 是复约化李代数，$\mathfrak{h}$ 为其嘉当代数。Hotta 与 Kashiwara 在 $\mathfrak{g} \times \mathfrak{h}$ 上定义了一个全纯 D-模 $M$，称为 Harish-Chandra 模。我们将 $M$ 关于其典范 Hodge 滤过的相伴分次模 $\operatorname{gr}(M)$ 与等谱交换簇联系起来，后者是 $\mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \times \mathfrak{h} \times \mathfrak{h}$ 的一个子簇，并且是 $\mathfrak{g}$ 中交换元素对簇的分支覆盖。我们的主要结果建立了 $\operatorname{gr}(M)$ 与 $X_{\text{norm}}$（等谱交换簇的正规化）的结构层之间的同构。由此，借助 Hodge 模理论，可得等谱交换簇的正规化是 Cohen-Macaulay 且 Gorenstein 的，从而证实了 M. Haiman 的一个猜想。利用 Saito 的 Hodge D-模理论，我们推导出概形 $X_{\text{norm}}$ 是 Cohen-Macaulay 且 Gorenstein 的，这证实了 M. Haiman 的一个猜想。与 $\mathfrak{g}$ 中的任意主幂零对相关联，存在 $X_{\text{norm}}$ 的一个有限子概形。相应的坐标环是一个双分次有限维 Gorenstein 代数，它提供了 Weyl 群的左正则表示。该代数的余基座是一个一维向量空间，由 $\mathfrak{h} \times \mathfrak{h}$ 上一个显著的 $W$-调和多项式生成。在 $\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n$ 的特殊情形下，上述代数与 Haiman 的 $n!$ 定理密切相关，而我们的 $W$-调和多项式则退化为 Garsia-Haiman 多项式。此外，在 $\mathfrak{gl}_n$ 情形下，层 $\operatorname{gr}(M)$ 在 $\mathbb{C}^2$ 中 $n$ 点的 Hilbert 概形上诱导出一个向量丛，该向量丛同构于 Procesi 丛。我们的结果被 I. Gordon 用于获得 Kostka-Macdonald 多项式正性的一个新证明，该正性此前由 Haiman 建立。