Chern-Simons 理论中的多边界纠缠与链环不变量

我们考虑规范群为 $G$、水平为 $k$ 的 Chern-Simons 理论，其定义在具有由 $n$ 个拓扑链接的环面组成的边界的 3-流形 $M_n$ 上。$M_n$ 上的欧几里得路径积分在边界上定义了一个量子态，该态位于环面希尔伯特空间的 $n$ 重张量积中。我们聚焦于 $M_n$ 是三维球面 $S^3$ 内某个 $n$ 分支链环的补空间的情形。所得态的纠缠熵定义了与取标无关的链环不变量，这些不变量对所选定链环的拓扑敏感。对于水平为 $k$ 的阿贝尔理论（$G= U(1)_k$），我们给出了一个与将任意 $n$ 分支链环划分为子链环的任意 $(m|n-m)$ 分割相关联的纠缠熵的一般公式。该公式涉及某些丢番图方程的解的数量，其系数与两个子链环之间的 Gauss 链接数（模 $k$）相关。此公式连接了量子信息论、纽结理论和数论中的简单概念，并表明子链环之间的纠缠熵为零当且仅当它们的 Gauss 链接（模 $k$）为零。对于 $G = SU(2)_k$，我们研究了多种两分支和三分支链环。我们证明 2-分支 Hopf 链环是最大纠缠的，因此类似于一个 Bell 对，而具有零 Gauss 链接的 Whitehead 链环却具有纠缠熵。最后，我们证明 Borromean 环具有“W 型”纠缠结构（即，偏迹掉一个环面不会导致可分离态），并给出具有“GHZ 型”纠缠（即，偏迹掉一个环面确实会导致可分离态）的其他 3-分支链环的例子。