Chern-Simons 理论中纽结态的线路复杂性

我们计算了 $3d$ Chern-Simons 理论中对应于某些纽结类的量子态的线路复杂性的上界。具体而言，我们处理 Chern-Simons 环面希尔伯特空间中的态，这些态是 3-球面上任意环面纽结的纽结补空间。它们可通过使用环面的 $S$ 和 $T$ 模变换的希尔伯特空间表示作为基本门，由无纽结态构造而来。该上界在 Chern-Simons 理论的半经典极限下达到饱和。随后结果被推广到一类通过“Hopf 链接”不同环面纽结得到的多分量链环。我们还利用纽结的辫字表示讨论与 2-桥纽结和链环相关的穿孔球面希尔伯特空间上的态。这些计算呈现出与有理数连分数表示相关的有趣数论特征。特别地，我们证明定义复杂性的极小化过程自然导出正则连分数，从而允许在上半平面的 Farey 镶嵌中对结果作几何解释。最后，我们通过将原始论证推广到非平凡拓扑，将我们的讨论与路径积分优化框架相联系。