拓扑量子场论——物理学家与数学家的交汇地

拓扑量子场论可用作探测低维几何与拓扑的有力工具。Chern-Simons 理论作为此类场论的例子,为研究三维中的纽结与链环提供了场论框架。这些是少数可以精确(非微扰)且显式求解的量子场论例子。阿贝尔 Chern-Simons 理论给出了链环的环绕数与自环绕数的场论解释。在无阿贝尔理论中,Wilson 链环算符的真空期望值给出一类多项式链环不变量;其中最简单的是著名的 Jones 多项式。所得其他不变量比 Jones 的更强大。已发展出对这些纽结与链环不变量进行完全解析与非微扰计算的强有力方法。在此过程中获得了纽结论中一些未决问题的答案。由 $S^3$ 中无定向与有框链环的这些不变量,利用三维流形的 Lickorish-Wallace 手术表示可轻易构造任意三维流形的不变量。该不变量在归一化前即是 Chern-Simons 场论的配分函数。即便 Chern-Simons 理论的微扰分析也富有数学结构;它们给出了 Vassiliev 纽结不变量的场论解释。Chern-Simons 理论不仅在数学中,也在三维和四维量子引力中找到重要应用。