由$U_q(\mathfrak{gl}(1 \vert 1))$与$U(1 \vert 1)$ Chern--Simons理论得到的三维拓扑量子场论

我们引入复李超代数$\mathfrak{gl}(1 \vert 1)$的一个展开量子化$U_q^E(\mathfrak{gl}(1 \vert 1))$，并利用其权模范畴构造和研究新的三维非半单拓扑量子场论。这些理论定义于由ribbon图与上同调类装饰的配边范畴上，取值于分次超向量空间范畴。通过对$U_q^E(\mathfrak{gl}(1 \vert 1))$在一般$q$与单位根$q$情形表示理论的详细研究，得以在这些理论中进行计算。我们论证，通过限制到整权模子范畴，可获得拓扑量子场论，它们是具有规范超群$\mathfrak{psl}(1 \vert 1)$与$\mathfrak{gl}(1 \vert 1)$并耦合背景平坦$\mathbb{C}^{\times}$-联络的Chern--Simons理论的数学模型，正如Rozansky--Saleur与Mikhaylov在物理文献中所研究的那样。特别地，我们将非一般环面上的Verlinde公式与映射类群在状态空间上的作用与物理文献中的结果相匹配。我们还获得了一般曲面的状态空间的显式描述，包括其分次维数，这超越了物理文献中的结果。