GL(1|1) Chern-Simons理论的组合量子化 I：环面

具有超群规范的Chern-Simons理论自然地出现于弦理论中，并在数学中具有有趣的应用，例如用于扭结与链环不变量的构造。本文是一系列论文中的第一篇，其中我们提出此类超群Chern-Simons理论在形如$\Sigma \times \mathbb{R}$的三维流形上的新量子化方案。它基于亏格g的n punctured黎曼曲面$\Sigma=\Sigma_{g,n}$的单纯形分解，并允许从基本构件（最重要的所谓单值代数）出发构造任意g与n的量子理论可观测量。在本文中我们限于环面情形，即假设$\Sigma = T^2$，并限于规范超群G=GL(1|1)。我们构造了整数能级k的Chern-Simons理论的相应量子态空间，以及模群SL(2,Z)在这些态上的显式表示。后者被证明等价于Lyubachenko-Majid作用于李超代数gl(1|1)的量子化泛包络代数的受限版本在k次本原单位根处的中心上的作用。