拓扑纠缠与数论

近期在 3d Chern-Simons 理论（规范群为 $G$，水平为 $k$）中研究拓扑多边界纠缠的进展表明，纠缠测度与数论之间存在密切关联。本文旨双重目的：首先，我们引入一种 $q$ -deformed Witten zeta 函数的版本，基于水平为 $k$ 的 Chern-Simons 理论。我们分析该函数在大 $k$ 极限下的行为，证明其收敛于经典 Witten zeta 函数的整数倍，其中整数倍正是该规范群中心的阶数。这一分析提供了计算经典 zeta 函数的另一种方法，并给出一些示例。接着，我们研究类型为 $T_{p,p}$ 环面链接 $S^3$ 补集的量子态，表明我们可以将有限 $k$ 下的 Rényi 熵表达式为 $q$ -deformed Witten zeta 函数。利用我们的第一个结果，我们获得 $k \to \infty$ 极限下的 Rényi 熵，并发现熵收敛于有限值，这些值可表示为经典 Witten zeta 函数在正整数处的值。由于 Witten zeta 函数自然出现在黎曼曲面上平坦连接束的符号体积中，我们给出 $k \to \infty$ Rényi 熵和纠缠熵极限的几何解释，表述为这些体积。本文的结果揭示了拓扑纠缠、Witten zeta 函数引发的数论结构以及模空间几何之间的惊人联系。