变号系数亥姆霍兹方程的极限吸收原理与适定性

本文研究用于模拟负折射率材料的变号系数亥姆霍兹方程所关联的极限吸收原理及其适定性。利用文献{Ng-Complementary}中引入的反射技术，我们首先从这些方程导出柯西问题。然后，通过对这些柯西问题的各种先验估计，得到极限吸收原理和适定性。本文提出了三种获得先验估计的方法。第一种方法源于Agmon、Douglis和Nirenberg在其经典工作{ADNII}中对配备一般互补边界条件的椭圆型系统的先验估计。第二种方法是对第一种方法的补充，基于狄利克雷原理的变分方法。最后一种方法是对第二种方法的补充，同样采用变分方法并使用乘子技术。由此，我们获得了这些方程适定性的新结果，其中关于矩阵值系数的正性条件在变号系数界面上被部分施加或不严格施加。因此，即使系数在变号界面两侧的对比度是任意的，适定性仍可成立。这使我们能够重新发现并大幅推广通过积分方法、伪微分算子理论和T-强制性方法获得的已知结果。由极限吸收原理获得的唯一解，并非如通常那样属于$H^1_{\loc}(\mR^d)$，甚至可能不属于$L^2_{\loc}(\mR^d)$。我们还讨论了所得结果的最优性。