临界 $L^{p}$ 框架下可压缩磁流体动力学系统强解的大时间行为

本文研究可压缩粘性磁流体动力学（MHD）系统，并探讨强解在常平衡态附近的大时间行为。二十世纪八十年代，Umeda、Kawashima 和 Shizuta 针对相当一般的一类对称双曲-抛物系统提出了耗散机制。从耗散性的角度出发，Kawashima 在其博士论文中建立了 MHD 系统解的 $L^{q}$-$L^{2}(q\in [1,2))$ 型最优时间衰减估计。本文将改进 Kawashima 的工作，对解的大时间渐近行为给出更精确的描述，不仅体现在额外的 Lebesgue 空间中，也体现在具有负正则性指标的完整 Besov 范数族中。具体而言，我们证明了具有临界正则性的全局解的 $L^{p}$ 范数（实际上是稍强的 $\dot{B}^{0}_{p,1}$ 范数）在 $t\rightarrow\infty$ 时以 $t^{-d(\frac{1}{p}-\frac{1}{4})}$ 的速率衰减。特别地，取 $p=2$ 和 $d=3$ 时，回到经典的时间衰减 $t^{-\frac{3}{4}}$。我们推导了新的估计，用于处理磁场与流体动力学之间的强耦合。