SQG 方程正则性的瞬时连续损失

给定 $s\in (3/2,2)$ 和 $\varepsilon >0$，我们构造一个紧支集初始数据 $\theta_0$，使得 $\| \theta_0 \|_{H^s}\leq \varepsilon$，并且存在 $T>0$、$c>0$ 以及 SQG 方程的一个时间局部解 $\theta$，该解在空间上紧支集，在 $\mathbb{R}^2\times [0,T]$ 上关于 $t$ 和 $x$ 连续且可微，并且对于每个 $t\in [0,T]$，$\theta (\cdot ,t ) \in {H^{s/(1+ct)}}$ 且对于任意 $\beta > s/(1+ct)$，$\theta (\cdot ,t ) \not \in {H^\beta }$。此外，$\theta$ 在所有以 $\theta_0$ 为初始条件、属于 $C([0,T];H^{1+\alpha })$（对于任意 $\alpha >0$）且在 $\mathbb{R}^2\times [0,T]$ 上关于 $t$ 和 $x$ 连续且可微的解中是唯一的。