关于超临界 SQG 方程的全局正则性

我们考虑分数耗散准地转方程的初值问题 $$\partial_t \theta + \mathcal{R}^\perp \theta \cdot \nabla \theta + \Lambda^\gamma \theta = 0, \qquad \theta(\cdot,0) =\theta_0$$ 在 $\mathbb{T}^2 = [0,1]^2$ 上，其中 $\gamma \in (0,1)$。耗散项 $\Lambda^\gamma = (-\Delta)^{\gamma/2}$ 前面的系数归一化为 1。我们证明，给定一个光滑初始数据满足 $\|\theta_0\|_{L^2}^{\gamma/2} \|\theta_0\|_{\dot{H}^2}^{1-\gamma/2}\leq R$，其中 {\em $R$ 任意大}，存在 $\gamma_1 = \gamma_1(R) \in (0,1)$，使得对于 $\gamma \geq \gamma_1$，具有耗散 $\Lambda^\gamma$ 的超临界 SQG 方程的解不会在有限时间内爆破。证明的主要要素是关于超临界 SQG 方程最终正则性的一个新的简洁证明，该证明仅依赖于分数拉普拉斯算子的非线性下界和最大值原理。