具有临界耗散的二维 Boussinesq 方程的整体正则性结果

本文研究了具有分数阶耗散的二维不可压缩 Boussinesq 方程的整体正则性问题，其中速度方程中的耗散项为 $\Lambda^\alpha u$，温度方程中的耗散项为 $\Lambda^\beta \theta$，这里 $\Lambda=\sqrt{-\Delta}$ 表示 Zygmund 算子。我们证明了当 $(\alpha,\beta)$ 处于临界范围：$\alpha>\frac{\sqrt{1777}-23}{24} =0.798103..$，$\beta>0$ 且 $\alpha+ \beta =1$ 时，经典解的整体存在性和光滑性。这一结果改进了 Jiu, Miao, Wu 和 Zhang \cite{JMWZ} 先前的工作，他们得到了 $\alpha> \frac{23-\sqrt{145}}{12} \approx 0.9132$，$\beta>0$ 且 $\alpha+ \beta =1$ 时的整体正则性。