某些行列式簇的射流模式的Hilbert级数

我们考虑经典行列式簇$X$（由一般$m\times n$矩阵的所有$2\times 2$子式为零定义）上的一阶射流模式$Y$（即${\mathcal{Z}_{2,2}^{m,n}}$）。当$2 < m \le n$时，该射流模式$Y$有两个不可约分支：一个平凡分支，同构于仿射空间；另一个非平凡分支，是支撑在$X$光滑点上的射流的闭包。第二个分支称为$Y$的主分支；它实际上是一个锥，也可以视为$\mathbf{P}^{2mn-1}$的射影子簇。我们证明$Y$的主分支的次数是$X$的次数的平方，更一般地，$Y$的主分支的Hilbert级数是$X$的Hilbert级数的平方。作为应用，我们计算了$Y$的主分支的$a$-不变量，并证明$Y$的主分支是Gorenstein的当且仅当$m=n$。