Brown 与 Tutte 组合数的 Hausdorff 矩问题：精确解

我们研究 W. G. Brown（1964）与 W. T. Tutte（1980）引入的、出现在凸多面体计数中的组合序列 $A(M, n)$。其公式为 $$A(M, n) = \frac{2 (2M+3)!}{(M+2)! M!}\,\frac{(4n+2M+1)!}{n! (3n + 2M + 3)!}$$ 其中 $n, M =0, 1, 2, \ldots$，我们将其视为 Hausdorff 矩，其中 $M$ 为参数，$n$ 枚举矩。我们精确求解相应的 Hausdorff 矩问题：$A(M, n) = \int_{0}^{R} x^{n} W_{M}(x) d x$，在自然支撑 $(0, R)$ 上，$R = 4^{4}/3^{3}$，使用逆 Mellin 变换方法。我们显式给出权重函数 $W_{M}(x)$，用 Meijer G-函数 $G_{4, 4}^{4, 0}$ 表示，或等价地，用广义超几何函数 ${_{3}F_{2}}$（对 $M=0, 1$）和 ${_{4}F_{3}}$（对 $M \geq 2$）表示。对 $M = 0, 1$，我们证明 $W_{M}(x)$ 非负且可归一化，因而是概率分布。对 $M \geq 2$，$W_{M}(x)$ 为在支撑端点处消失的有符号函数。通过完全用 Meijer G 表示重述此问题，我们揭示了一个积分关系，它基于 $A(M, n)$ 的普通生成函数作为输入直接给出 $W_M(x)$。所有结果均从解析和图形两方面加以研究。