置换不变随机矩阵的组合理论 I：划分、几何与重整化

本文中，我们定义并研究了偶数个对象的划分集合上的一种几何与序。其中一定义涉及划分代数（partition algebra），一种依赖于整数参数 N 的此类划分集合上的代数结构。随后我们在组合框架中模拟随机矩阵理论：对任意参数 N，我们引入划分代数上的一族线性形式，使得我们能定义一种弱收敛概念，类似于随机矩阵理论中的矩收敛。划分代数的重整化使我们能将弱收敛视为固定空间中的简单收敛。这引导我们定义任意整数参数 N 的形变划分代数，以及两种变换：累积量变换（cumulants transform）与排他矩变换（exclusive moments transform）。利用对划分上定义的距离的改进三角不等式，我们证明了赋予线性形式形变的形变划分代数在 N 趋于无穷时收敛。该结果使我们能证明关于测地线的组合性质以及划分上函数半群的收敛定理。最后我们研究了具有有限支撑的无穷划分上函数的子代数：定义了一种新的加法算子与 R-变换（R-transform）概念。我们引入了乘法函数集合，其对于新加法与乘法运算成为一个李群。对每一个，研究了其李代数。开发了适当的工具以理解收敛序列的矩与累积量的代数涨落。这使我们能将针对零阶涨落得到的所有结果推广到任意阶。