置换不变随机矩阵的组合理论 II：累积量、自由性与 Lévy 过程

$\mathcal{A}$-迹代数是一类配备有与乘积相容、由分拆索引的多重线性形式的代数。利用 $\mathcal{A}$-累积量的概念，我们定义并研究了 $\mathcal{A}$-自由性，该性质推广了独立性和自由性，以及一些刻画随机矩阵共轭不变性的不变性性质。在 $\mathcal{A}$-迹代数的框架下给出了一个中心极限定理。利用随机矩阵归一化矩的推广定义了 $\mathcal{A}$-分布意义下的收敛：这使得我们可以将 $\mathcal{A}$-迹代数理论应用于随机矩阵。通过使用与某些对偶性（如 Schur-Weyl 对偶性）相关的 $\mathcal{A}$-有限维累积量，这一研究得以深化。这为理解那些在分布上关于任何其关联张量范畴由分拆张成的群具有共轭不变性的随机矩阵族提供了一个统一且简洁的框架，例如酉群或对称群。在众多衍生结果中，我们证明了酉不变性和分布收敛蕴含 $\mathcal{P}$-分布收敛。此外，还证明了一个新的强渐近不变性和独立性概念蕴含 $\mathcal{A}$-自由性。最后，我们证明了关于在分布上关于对称群共轭不变的矩阵值加性和乘性 Lévy 过程收敛的一般定理。利用这些结果，给出了研究矩阵 Lévy 过程的一个统一视角。