正则有向图与树的星形矩的组合视角

我们研究了 $d$-正则有向图及极限 $d$-正则有向树 $T_d$ 在顶点数趋于无穷时的矩方法,精神同 McKay (Linear Algebra Appl., 1981) 在无向情形下的工作。特别地,我们给出了星形矩(从根顶点 $o\in T_d$ 出发)公式的组合推导 M_d(w)\qquad:=\sum_{\substack{v_0,v_1\ldots,v_{k-1},v_k\in T_d\v_0=v_k=o}} A^{w_1}(v_0,v_1)A^{w_2}(v_1,v_2) \cdots A^{w_k}(v_{k-1},v_k) 其中 $A$ 为 $T_d$ 的邻接矩阵,$w:=w_1\cdots w_k$ 是字母表 $\{1,{*}\}$ 上的任意字,且 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵。我们的分析揭示了 $M_d(w)$ 的非零求和项与 $\{1,\ldots,k\}$ 的非交叉划分之间的一种联系,该划分在某种意义下与 $w$ 相容。