多维 Catalan 数及相关数作为 Hausdorff 矩

我们研究了所谓的 $d$ 维 Catalan 数 $C_{d}(n)$ 的积分表示，其定义为 $[\prod_{p=0}^{d-1} \frac{p!}{(n+p)!}] (d n)!$，其中 $d = 2, 3, ...$，$n=0, 1, ...$。我们证明了 $C_{d}(n)$ 是定义在 $x\in[0, d^d]$ 上的正函数 $W_{d}(x)$ 的第 $n$ 个 Hausdorff 幂矩。我们构造了 $W_{d}(x)$ 的精确显式形式，并证明它们可以表示为变量为 $x/d^d$ 的 $d-1$ 个 $_{d-1}F_{d-2}$ 型超几何函数的组合。这些解是唯一的。我们对它们进行了分析和图形化研究。此外，我们还以同样的方式分析了一个组合学上相关的、针对偶数 $d$ 的 $C_{d}(n)$ 特定扩展形式 $D_{d}(n)=[\prod_{p = 0}^{d-1} \frac{p!}{(n+p)!}] [\prod_{q = 0}^{d/2 - 1} \frac{(2 n + 2 q)!}{(2 q)!}]$。