Pinsky广义Ulam问题组合二阶矩公式的母函数

给定均匀随机置换$\pi \in S_n$，令$Z_{n,k}$等于长度为$k$的递增子序列的个数：即$Z_{n,k}=|\{(i_1,\dots,i_k) \in \mathbb{Z}^k\, :\, 1\leq i_1<\dots<i_k\leq n\ ,\ \pi_{i_1}<\dots<\pi_{i_k}\}|$。在一篇重要论文中，Ross Pinsky证明了$\mathbf{E}\big[Z_{n,k}^2\big]$等于$\sum_{i} A(k-i,i)B(n,2k-i)$，其中对任意非负整数$N$与$j$，有$B(N,j) = \binom{N}{j}/j!$，而$A(N,j)$是一个特定的非负整数，Pinsky以两种不同方式刻画了它。对$A(N,j)$的一种刻画涉及首次返回原点之前$x$轴的占据时间。利用此，他证明了当$k_n=o(n^{2/5})$且$n \to \infty$时序列$Z_{n,k_n}$的大数定律。在后续论文中，他还证明了当$1/k_n = o(1/n^{4/9})$且$n \to \infty$时序列$Z_{n,k_n}$不服从大数定律。此处，我们回到他对$Z_{n,k}$二阶矩的组合公式，并获得$A(N,j)$三角数组的母函数。我们的动机是希望将自旋玻璃技术应用于著名的Ulam问题，以观察这是否提供新的视角。